17

　　第一章

　　复数

　　1

　　=-1

　　欧拉公式

　　z=x+iy

　　实部Re

　　z

　　虚部

　　Im

　　z

　　2运算

　　①

　　②

　　③

　　④

　　⑤

　　共轭复数

　　共轭技巧

　　运算律

　　P1页

　　3代数，几何表示

　　z与平面点一一对应，与向量一一对应

　　辐角

　　当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg

　　z=

　　k=±1±2±3…

　　把位于-π＜≤π的叫做Arg

　　z辐角主值

　　记作=

　　4如何寻找arg

　　z

　　例：z=1-i

　　z=i

　　z=1+i

　　z=-1

　　π

　　5

　　极坐标：

　　，

　　利用欧拉公式

　　可得到

　　6

　　高次幂及n次方

　　凡是满足方程的ω值称为z的n次方根，记作

　　即

　　第二章解析函数

　　1极限

　　2函数极限

　　①

　　复变函数

　　对于任一都有

　　与其对应

　　注：与实际情况相比，定义域，值域变化

　　例

　　②

　　称当时以A为极限

　　☆

　　当时，连续

　　例1

　　证明在每一点都连续

　　证：

　　所以在每一点都连续

　　3导数

　　例2

　　时有

　　证：对有

　　所以

　　例3证明不可导

　　解：令

　　当时，不存在，所以不可导。

　　定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件

　　且

　　例4证明不可导

　　解：

　　其中

　　u,v

　　关于x,y可微

　　不满足C-R条件

　　所以在每一点都不可导

　　例5

　　解：

　　不满足C-R条件

　　所以在每一点都不可导

　　例6：

　　解：

　　其中

　　根据C-R条件可得

　　所以该函数在处可导

　　4解析

　　若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。

　　用C-R条件必须明确u,v

　　四则运算

　　☆

　　例：证明

　　解：

　　则

　　任一点处满足C-R条件

　　所以处处解析

　　练习：求下列函数的导数

　　解:

　　所以

　　根据C-R方程可得

　　所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。

　　初等函数

　　Ⅰ常数

　　Ⅱ指数函数

　　①

　　定义域

　　②

　　③

　　④

　　Ⅲ对数函数

　　称满足的叫做的对数函数，记作

　　分类：类比的求法（经验）

　　目标：寻找

　　幅角主值

　　可用：

　　过程：

　　所以

　　例：求

　　的值

　　Ⅳ幂函数

　　对于任意复数，当时

　　例1：求的值

　　解：

　　例2：求

　　Ⅴ三角函数

　　定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数

　　例：求

　　解：

　　第三章复变函数的积分

　　1复积分

　　定理3.1

　　设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有

　　注：①C是线

　　②方式跟一元一样

　　方法一：思路：复数→实化

　　把函数与微分相乘，可得

　　方法二：参数方程法

　　☆核心：把C参数

　　C：

　　例：

　　求

　　①C：0→的直线段②；

　　解：①C：

　　②

　　★

　　结果不一样

　　2柯西积分定理

　　例：

　　C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针

　　解：C：

　　☆

　　积分与路径无关：①单联通

　　②处处解析

　　例：求，其中C是连接O到点的摆线：

　　解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，

　　则

　　即

　　把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于

　　故

　　★关键：①恰当参数

　　②合适准确带入z

　　3不定积分

　　定义3.2

　　设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件

　　定理3.7

　　若可用上式，则

　　例：

　　计算

　　解：

　　练习：计算

　　解：

　　4柯西积分公式

　　定理

　　处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则

　　例1：

　　解：

　　例2：

　　解：

　　例3：

　　解：

　　注：①C：

　　②

　　一次分式

　　③找到

　　在D内处处解析

　　例4：

　　解：5

　　解析函数的高阶导数

　　公式：

　　n=1，2……

　　应用要点：①

　　②

　　③精准分离

　　例：

　　6

　　调和函数

　　若满足则称叫做D内的调和函数

　　若在D内解析

　　所以

　　把称为共轭调和函数

　　第四章

　　级数理论

　　1复数到

　　距离

　　谈极限

　　对若有使得

　　此时

　　为的极限点

　　记作

　　或

　　推广：对一个度量空间都可谈极限

　　2

　　极限的性质

　　3

　　4

　　级数问题

　　部分和数列

　　若

　　则收敛，反之则发散。

　　性质：1若

　　都收敛，则收敛

　　2若一个收敛，一个发散，可推出发散

　　3

　　若

　　绝对收敛

　　若

　　但收敛

　　，为条件收敛

　　等比级数

　　：

　　时收敛，其他发散

　　幂级数

　　则

　　求收敛域

　　例：求的收敛半径及收敛圆

　　解：因为

　　所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为

　　泰勒级数

　　泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数

　　其中，

　　，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。

　　例

　　1：求在处的泰勒展式

　　解

　　：在全平面上解析，

　　，

　　所以在处的泰勒展式为

　　例2：

　　将函数展成的幂级数

　　解：

　　罗朗级数

　　罗朗定理

　　若函数在圆环D：内解析，

　　则当时，有

　　其中

　　例：将函数在圆环（1）

　　（2）

　　内展成罗朗级数。

　　解：（1）在内，由于，所以

　　（2）在内，由于，所以

　　孤立奇点

　　定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。

　　例

　　：

　　为可去奇点

　　为一级极点

　　为本性奇点

　　第5章

　　留数理论（残数）

　　定义：

　　设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数

　　记作：

　　其中，，C的方向是逆时针。

　　例1：求函数在处的留数。

　　解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。

　　例2：求函数在处的留数

　　解：是的本性奇点，因为

　　所以

　　可得

　　第7章

　　傅里叶变换

　　通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

　　定义：对满足某些条件的函数

　　在上有定义，则称

　　为傅里叶变换。

　　同时

　　为傅里叶逆变换

　　注：①傅里叶变换是把函数变为函数

　　②傅里叶逆变换是把函数变为函数

　　③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分

　　④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分

　　复习积分：①

　　②

　　③

　　④

　　⑤

　　注：

　　例1：求

　　的

　　解：

　　例2：求

　　的

　　解：

　　-函数

　　定义：如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。

　　例1：求-函数的

　　解：

　　例2：求正弦函数的傅氏变换

　　解：

　　☆

　　第8章

　　拉普拉斯变换

　　设在时有定义